宏观介电函数：

\[\epsilon_M(\omega)=\lim_{q\rightarrow0}\frac{1}{\epsilon^{-1}_{G=0,G'=0}(q,\omega)}\tag{1}\]

一些软件的文档12中提到，可以用“去除了v(G=0)的响应函数\(\bar\chi\)”计算宏观介电函数：（可以避免求逆）

\[\epsilon_M=1-\frac{4\pi}{\mathbf{q}^2}\bar\chi_{00}\tag{2}\]

联想到微观介电函数和不可约极化率（对KSDFT是\(\chi^0\)）的关系：\(\epsilon=1-v\chi^0\)，于是一开始我以为\(\epsilon_M\)就是\(\epsilon\)对响应函数做了个截断。

宏观介电函数的公式（1）到（2）是可以严格推出来的。3

将库伦核分为对角项（长程项）和非对角项（局域场效应）：

\[v_\mathbf{GG'}=\frac{4\pi}{|\mathbf{q+G}|^2}+\bar{v}_\text{GG'}\]

Dyson方程：

\[\chi=\chi^0+\chi^0v\chi\]

定义\(\bar\chi\)为只含局域场部分相互作用的响应函数：

\[\bar\chi=\chi^0+\chi^0\bar{v}\bar\chi\]

由此得出\(\bar\chi\)和\(\chi\)之间的关系：

\[\begin{aligned} \chi/\bar{\chi}&=(1+v\chi)/(1+\bar{v}\bar\chi)\\ \chi+\chi\bar{v}\bar\chi&=\bar\chi+\bar\chi v\chi\\ \chi&=\bar\chi+\bar\chi\frac{4\pi}{|\mathbf{q+G}|^2}\chi \end{aligned}\]

可以证明：（原文3.5式，\(\bar\chi^{(2)}(\omega)\)是\(q^2\)项系数，根据\(k\cdot p\)微扰论推出）

\[\lim_{\mathbf{q}\rightarrow0}\bar\chi=\bar\chi^{(2)}(\omega)q^2+O(q)\tag{3}\]

所以对G=0有

\[\chi=\frac{\bar\chi}{1-4\pi\bar\chi^{(2)}}\]

现在计算宏观介电函数：

\[\epsilon_M(\omega)=\lim_{q\rightarrow0}\frac{1}{\epsilon^{-1}_{G=0,G'=0}(q,\omega)}\]

利用微观介电函数和响应函数的关系：

\[\epsilon^{-1}=1+v\chi\]

在G=0，\(q\rightarrow 0\)时有：（原文3.8式）

\[\begin{aligned} \epsilon_M(\omega)&=\lim_{\mathbf{q}\rightarrow0}\frac{1}{1+[v\chi]_{00}}\\ &=\left[1+\frac{v\bar\chi}{1-4\pi\bar\chi^{(2)}}\right]_{00}^{-1}\\ &=\left[1+\frac{4\pi\bar\chi^{(2)}}{1-4\pi\bar\chi^{(2)}}\right]^{-1}\\ &=1-4\pi\bar\chi^{(2)}(\omega)\\ \end{aligned}\]

如果(3)对\(\chi^0\)也成立，即\(\lim_{\mathbf{q}\rightarrow0}\chi^0=\chi^{0(2)}(\omega)q^2+O(q)\)，那么\(q\rightarrow0，G=G'=0\)的微观介电函数就是：\(\epsilon=1-4\pi\chi^{0(2)}\)。

对比微观和宏观介电函数，确实是\(\chi^0\)和\(\bar\chi\)的区别。根据\(\bar\chi=\chi^0+\chi^0\bar{v}\bar\chi\)，可以理解为宏观介电函数是从微观介电函数中减去了局域场效应:：\(\chi^0\bar{v}\bar\chi\)。

之前认为\(\bar\chi\)是\(\chi^0\)的截断，是因为默认应用了\(\chi=\chi^0\)的近似。实际上\(\bar\chi\)是\(\chi\)的一部分，比\(\chi^0\)多包含了局域场效应。

  1. Bethe-Salpeter Equation - Theory — GPAW (dtu.dk) ↩

  2. The RPA and RPA+BSE Dielectric functions (questaal.gitlab.io) ↩

  3. W. Hanke (1978) Dielectric theory of elementary excitations in crystals, Advances in Physics, 27:2, 287-341, DOI: 10.1080/00018737800101384 ↩